Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & - 7 \\ - 1 & - 3 & 4 \\ - 2 & - 4 & 18 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 4 & 18 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 4 & 18 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 4 & 18 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 4 & 18 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 3 \cdot 18 - (- 4 \cdot 4)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $18$ .

$1 (- 54 - (- 4 \cdot 4)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot 4)$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$1 (- 54 - - 16) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$1 (- 54 + 16) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 54$ et $16$ .

$1 \cdot - 38 - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ - 2 & 18 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 38 - 4 (- 1 \cdot 18 - (- 2 \cdot 4)) - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$1 \cdot - 38 - 4 (- 18 - (- 2 \cdot 4)) - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$1 \cdot - 38 - 4 (- 18 - - 8) - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$1 \cdot - 38 - 4 (- 18 + 8) - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 18$ et $8$ .

$1 \cdot - 38 - 4 \cdot - 10 - 7 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 38 - 4 \cdot - 10 - 7 (- - 4 - (- 2 \cdot - 3))$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$1 \cdot - 38 - 4 \cdot - 10 - 7 (4 - (- 2 \cdot - 3))$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot - 3)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$1 \cdot - 38 - 4 \cdot - 10 - 7 (4 - 1 \cdot 6)$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$1 \cdot - 38 - 4 \cdot - 10 - 7 (4 - 6)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$1 \cdot - 38 - 4 \cdot - 10 - 7 \cdot - 2$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 38$ par $1$ .

$- 38 - 4 \cdot - 10 - 7 \cdot - 2$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$- 38 + 40 - 7 \cdot - 2$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$- 38 + 40 + 14$

Étape 5.2

Additionnez $- 38$ et $40$ .

$2 + 14$

Étape 5.3

Additionnez $2$ et $14$ .

$16$